高等数学第一型曲线积分优秀ppt课件

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这是高等数学第一型曲线积分优秀ppt课件下载，主要介绍了第一型曲线积分的概念与性质；第一型曲线积分的计算法；思考与练习，设  是空间中一条有限长的光滑曲线,若通过对  的任意分割义在 上的一个有界函数, 若通过对  的任意分割，和对局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”，欢迎点击下载高等数学第一型曲线积分优秀ppt课件。

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　　如果L是xoy面上的曲线弧,

　　如果L是闭曲线,则记为

　　则定义对弧长的曲线积

　　分为

　　思考:

　　(1)若在L上f(x,y)≡1,

　　(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?

　　否!

　　对弧长的曲线积分要求ds0,

　　但定积分中

　　dx可能为负.

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　　3.性质

　　(k为常数)

　　(l为曲线弧的长度)

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　　二、第一型曲线积分的计算法

　　基本思路:

　　计算定积分

　　定理:

　　且

　　上的连续函数,

　　证:

　　是定义在光滑曲线弧

　　则曲线积分

　　求曲线积分

　　根据定义

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　　点

　　设各分点对应参数为

　　对应参数为

　　则

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　　说明:

　　因此积分限必须满足

　　(2)注意到

　　因此上述计算公式相当于“换元法”.

　　因此

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　　如果曲线L的方程为

　　则有

　　如果方程为极坐标形式:

　　则

　　推广:设空间曲线弧的参数方程为

　　则

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　　例1.计算

　　其中L是抛物线

　　与点B(1,1)之间的一段弧.

　　解:

　　上点O(0,0)

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　　例2.计算半径为R,中心角为

　　的圆弧L对于它的对

　　称轴的转动惯量I(设线密度=1).

　　解:建立坐标系如图,

　　则

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　　例3.计算

　　其中L为双纽线

　　解:在极坐标系下

　　它在第一象限部分为

　　利用对称性,得

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　　例4.计算曲线积分

　　其中为螺旋

　　的一段弧.

　　解:

　　线

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　　例5.计算

　　其中为球面

　　解:由对称性可知

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　　思考:例5中改为

　　计算

　　解:令

　　,则

　　圆的形心在原点,故

　　,如何

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　　例6.计算

　　其中为球面

　　解:

　　化为参数方程

　　则

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　　思考与练习

　　1.已知椭圆

　　周长为a,求

　　提示:

　　原式=

　　利用对称性

　　分析:

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　　2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为

　　(1)求它关于z轴的转动惯量

　　(2)求它的质心.

　　解:设其密度为ρ(常数).

　　(2)L的质量

　　而

　　(1)

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　　故重心坐标为

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　　3.设C是由极坐标系下曲线

　　及

　　所围区域的边界,求

　　提示:分段积分

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　　4.L为球面

　　面的交线,求其形心.

　　在第一卦限与三个坐标

　　解:如图所示,交线长度为

　　由对称性,形心坐标为

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